Question

9．已知$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），直線$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，則|AB|的最小值為3．

Answer 1

分析 由題意求出A、B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間的距離公式求出|AB|²，利用“1”的代換和基本不等式求出|AB|²的范圍，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：由題意得，A（a，0）、B（0，b），
則|AB|²=（a-0）²+（0-b）²=a²+b²，
∵$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），
∴a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$）
=5+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$≥5+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{^{2}}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$時(shí)取等號(hào)，
∴|AB|²≥9，即|AB|≥3，則|AB|的最小值是3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，兩點(diǎn)之間的距離公式的應(yīng)用，以及“1”的代換，屬于中檔題．