Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，則$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式f（x）＞1可化為：$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$，討論$-\frac{a+1}{a}$與1的大小，可得答案．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，
則$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{{-4{a^2}-1}}{4a}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$
解得：a=-2或a=-$\frac{1}{8}$，
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
ax²+x-a＞1$⇒a{x^{2}}+x-a-{1}＞0⇒a（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＞0$$⇒（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$
當(dāng)$1＞-\frac{a+1}{a}$，即a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$x∈（-\frac{a+1}{a}，1）$；
當(dāng)$1＜-\frac{a+1}{a}$，即$-\frac{1}{2}＜a＜0$時(shí)，$x∈（1，-\frac{a+1}{a}）$；
當(dāng)$1=-\frac{a+1}{a}$，即$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，x∈∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次不等式的解法，難度不大，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．