Question

17．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求棱錐C-ADE的體積；
（2）在線段DE上是否存在一點P，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{AD}^{2}{-DE}^{2}}$，可得S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE．由于CD⊥平面ADE，可得V_C-ADE=$\frac{1}{3}$CD•S△ADE．
（2）在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，設F為線段DE上的一點，過F作FM∥CD交CE于點M，由線面垂直的性質(zhì)可得：CD∥AB．可得四邊形ABMF是平行四邊形，于是AF∥BM，即可證明AF∥平面BCE

解答 解：（1）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{AD}^{2}{-DE}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
∵CD⊥平面ADE，∴V_C-ADE=$\frac{1}{3}$CD•S△ADE=$\frac{1}{3}$×6×$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
下面給出證明：設F為線段DE上的一點，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
過F作FM∥CD交CE于點M，則FM=$\frac{1}{3}$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴MF∥AB，MF=AB，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．

點評 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．