Question

2．在平面直角坐標系xOy中，過點P（4，0）作傾斜角為a的直線l，以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρ=1，將曲線C₁上各點的橫坐標伸長為原來的5倍，縱坐標伸長為原來的3倍，得到曲線C₂，直線l與曲線C₂交于不同的兩點M，N．
（1）求直線l的參數方程及曲線C₂的普通方程．
（2）求$\sqrt{\frac{1}{|PM|•|PN|}}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由題意寫出直線的參數方程，化曲線C₁的極坐標方程為直角坐標方程，然后化為參數方程伸縮變換后化為普通方程；
（2）把直線的參數方程代入曲線C₂，整理后利用根與系數的關系求得答案．

解答 解：（1）∵直線l過點P（4，0），且傾斜角為a，則其參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$；
由ρ=1，得ρ²=1，∴x²+y²=1，即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
曲線C₁上各點的橫坐標伸長為原來的5倍，縱坐標伸長為原來的3倍，得$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，
化為直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）把直線方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$代入為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，得（25sin²a+9cos²a）t²+72tcosa-81=0．
∴|PM|•|PN|=$|{t}_{1}{t}_{2}|=|\frac{81}{25si{n}^{2}a+9co{s}^{2}a}|$，
$\sqrt{\frac{1}{|PM|•|PN|}}$=$\sqrt{\frac{25si{n}^{2}a+9co{s}^{2}a}{81}}$=$\sqrt{\frac{16si{n}^{2}a+9}{81}}$．
∵0≤16sin²a≤16，9≤16sin²a+9≤25，
則|PM|•|PN|∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{9}$]．

點評 本題考查了簡單曲線的極坐標方程，考查直線和圓錐曲線的關系，是基礎題．