Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1，（x∈R）在x=3取得極小值
（1）求函數(shù)f（x）的極小值是-5，求f（x）；
（2）若a=-4時(shí)，函數(shù)f（x）存在極大值，求b的取值范圍及f（x）取得極大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f′（3）=0，f（3）=-5，建立方程求出a，b，可求f（x）；
（2）若a=-4時(shí)，函數(shù)f（x）存在極大值，求b的取值范圍及f（x）取得極大值時(shí)x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（3）=0，f（3）=-5，
∴27+6a+b=0，27+9a+3b+1=-5，
∴a=-$\frac{16}{3}$，b=5，
∴f（x）=x³-$\frac{16}{3}$x²+5x+1；
（2）f′（3）=0，可得27+6a+b=0，a=-4，∴b=-3，
∴f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1），
∴函數(shù)在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（3，+∞）單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{3}$，3）上單調(diào)遞減，
∴f（x）取得極大值時(shí)x=-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．