Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}}+2x+a，x＜0\\ lnx，x＞0\end{array}$其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=f（x）•f（e^x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)重合，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)g（x）=f（x）•f（e^x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線(xiàn)方程，再利用兩直線(xiàn)重合的充要條件列出關(guān)系式，從而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1²-1，最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x+a，
∵e^x＞0，∴f（e^x）=x，
∴g（x）=f（x）•f（e^x）=x³+2x²+ax，
∴g′（x）=3x²+4x+a=3（x+$\frac{2}{3}$）²+a-$\frac{4}{3}$，
①a≥$\frac{4}{3}$時(shí)，g′（x）≥0，此時(shí)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
②a＜$\frac{4}{3}$時(shí)，g′（x）=0，得x₁=$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，x₂=$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$，
0＜a＜$\frac{4}{3}$時(shí)，x₂＜0，g（x）在（-∞，$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$（上單調(diào)遞減，在（$\frac{-2+\sqrt{4-3a}}{3}$，0）上單調(diào)遞增；
③a≤0時(shí)，x₂≥0（舍去），g（x）在（-∞，$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{-2-\sqrt{4-3a}}{3}$，0）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）當(dāng)x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））處的切線(xiàn)方程為y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線(xiàn)方程為y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
兩直線(xiàn)重合的充要條件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+2且lnx₂-1=-x₁²+a，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜2，由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜2，且a=$\frac{1}{4}$t²-t-lnt，設(shè)h（t）=$\frac{1}{4}$t²-t-lnt，（0＜t＜2）
則h′（t）=$\frac{1}{2}$t-1-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-1）^{2}-3}{2t}$＜0，∴h（t）在（0，2）為減函數(shù)，
則h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)重合，a的取值范圍（-ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查直線(xiàn)的位置關(guān)系的處理，注意利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．