Question

2．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F．
（Ⅰ）點A，P滿足$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{FA}$．當點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設斜率為k的直線l過定點P（-2，1），求直線l與拋物線C恰好有一個公共點、兩個公共點、沒有公共點時k的相應取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點F，設P（x，y），A（x₀，y₀），求得向量AP，F(xiàn)A的坐標，由條件運用代入法，可得動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），討論當k=0時，當k≠0時，聯(lián)立拋物線方程，消去x并整理，由判別式等于0，大于0，小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
設P（x，y），A（x₀，y₀），則有$y_0^2=4{x_0}$①
$\overrightarrow{AP}=（x-{x_0}，y-{y_0}）$，$\overrightarrow{FA}=（{x_0}-1，{y_0}）$．
由$\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{FA}$，得
$\left\{\begin{array}{l}x-{x_0}=-2（{x_0}-1）\\ y-{y_0}=-2{y_0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2-x\\{y_0}=-y\end{array}\right.$②
把②代入①得動點P的軌跡方程：y²=-4（x-2）；
（Ⅱ）由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），
當k=0時，直線l的方程為y=1，直線l與拋物線C有一個交點；
當k≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+2）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x并整理，得ky²-4y+8k+4=0．
判別式△=（-4）²-4k（8k+4）=-16（k+1）（2k-1），
由△=0，得k=-1或$k=\frac{1}{2}$；由△＞0，得$-1＜k＜\frac{1}{2}$．
所以，恰好有一個公共點時，k的相應取值范圍是$\{-1，0，\frac{1}{2}\}$；
恰好有兩個公共點時，k的相應取值范圍是$\{x|-1＜x＜\frac{1}{2}，x≠0\}$；
沒有公共點時，k的相應取值范圍是{x|x＜-1，或$x＞\frac{1}{2}\}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查向量的共線的坐標表示和直線和拋物線的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．