Question

8．在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：ax+by+c=0和點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），若P₁P₂⊥l，垂足為P₀，且$\overrightarrow{{P_1}{P_0}}=λ•\;\overrightarrow{{P_0}{P_2}}$，則稱點P₁，P₂關(guān)于直線l成“λ對稱”．若曲線C上存在點P₁，P₂關(guān)于直線l成“λ對稱”，則稱曲線C為“λ對稱曲線”．
（1）設P₁（0，3），P₂（3，0），若點P₁，P₂關(guān)于直線l成“$\frac{1}{2}$對稱”，求直線l的方程；
（2）設直線l：x-y+1=0，判斷雙曲線x²-y²=1是否為“λ對稱曲線”？請說明理由；
（3）設直線l：x+y=0，且拋物線y=x²-m為“2對稱曲線”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設P₀（x₀，y₀），由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=1，y₀=2，即可求直線l的方程；
（2）直線l：x-y+1=0與其中漸近線x-y=0平行，雙曲線x²-y²=1不是為“λ對稱曲線”；
（3）設直線P₁P₂：y=x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x^2}-m}\end{array}}\right.$⇒x²-x-t-m=0，由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=2$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+2{y}_{2}}{3}$，代入x₀+y₀=0得x₁+2x₂+y₁+2y₂=0，化簡，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（3，-3）…（1分）
設P₀（x₀，y₀），由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，
可得2（x₀-0）=3-x₀，2（y₀-3）=0-y₀，
所以x₀=1，y₀=2，…（3分）
所以直線l：3（x-1）-3（y-2）=0，
即所求直線l：x-y+1=0；                                    …（4分）
（2）雙曲線x²-y²=1不是為“λ對稱曲線”…（6分）
事實上，雙曲線x²-y²=1的兩條漸近線分別為x-y=0，x+y=0，它們互相垂直，
直線l：x-y+1=0與其中漸近線x-y=0平行，
所以雙曲線x²-y²=1上不可能存在兩點P₁，P₂，更別說滿足$\overrightarrow{{P_1}{P_0}}=λ•\;\overrightarrow{{P_0}{P_2}}$  …（8分）
（3）因為拋物線y=x²-m為“2對稱曲線”，所以存在點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
設直線P₁P₂：y=x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x^2}-m}\end{array}}\right.$⇒x²-x-t-m=0
其中△=1-4（-t-m）＞0，且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=1}\\{{x_1}{x_2}=-t-m}\end{array}}\right.$
又由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=2$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+2{y}_{2}}{3}$
代入x₀+y₀=0得x₁+2x₂+y₁+2y₂=0
所以x₁+xy₂+（x₁+t）+2（x₂+t）=0$⇒{x_2}=-\frac{3}{2}t-1，{x_1}=2+\frac{3}{2}t$…（12分）
由△=1-4（-t-m）=1-4x₁x₂＞0得$1-4（-\frac{3t}{2}-1）（2+\frac{3t}{2}）＞0$⇒t≠-1…（14分）
由x₁x₂=-t-m得m=-t-x₁x₂=$-t-（-\frac{3t}{2}-1）（2+\frac{3t}{2}）$=$\frac{9}{4}{t^2}+\frac{7}{2}t+2$=$\frac{9}{4}{（t+\frac{7}{9}）^2}+\frac{23}{36}$∈[$\frac{23}{36}$，+∞）．
即所求實數(shù)m的范圍為[$\frac{23}{36}$，+∞）．…（16分）

點評 本題主要考查新定義，直線的一般式方程，求點的軌跡方程，屬于中檔題．