Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足4y₁y₂=x₁x₂．
①試證k_AB+k_BC的值為定值，并求出此定值；
②試求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），不妨設(shè)x₁＞0，x₂＞0．設(shè)k_AC=k＞0，將直線AC和直線BD方程代入橢圓方程，解得A，B的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)，再由斜率公式，計(jì)算即可得證；
②由①可得四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD面積S=4S_△AOB=4×$\frac{1}{2}$|AB|•d（原點(diǎn)到直線AB的距離為d），運(yùn)用直線AB和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
橢圓過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=1．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），
不妨設(shè)x₁＞0，x₂＞0．
設(shè)k_AC=k＞0，∵k_AC•k_BD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴k_BD=$\frac{1}{4k}$．
可得直線AC、BD的方程分別為y=kx，y=$\frac{1}{4k}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4k}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
即有y₁=$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
k_AB+k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{1-2k}{4k-2}$+$\frac{1+2k}{4k+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
則k_AB+k_BC的值為定值，且為0；
②由①可得四邊形ABCD為平行四邊形，
則四邊形ABCD面積S=4S_△AOB=4×$\frac{1}{2}$|AB|•d（原點(diǎn)到直線AB的距離為d），
設(shè)直線AB：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
代入橢圓方程可得2x²-4mx+4（m²-1）=0，
則有x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1），
即有S=2$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-8（{m}^{2}-1）}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$
=4$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤4$\sqrt{（\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}）^{2}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)m²=1時(shí)，取得等號(hào)．
即有四邊形ABCD面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵