Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+c（a＞0），曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=x+1
（1）求b、c的值；
（2）若過點（0，3）可作曲線g（x）=f（x）-x的三條不同切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的導數(shù)f′（x），再求f（0），由題意知f（0）=1，f′（0）=1，從而求出b，c的值；
（2）首先設出切點，求出切線的斜率，寫出切線方程，代入點（0，3），得到關于x₀的三次方程，且該方程有三個不同的實根，構造函數(shù)，運用導數(shù)求出極小值，令其值小于0，解出a的取值范圍，注意a＞0．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+c（a＞0），
所以導數(shù)f′（x）=x²-ax+b-1，
又因為曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=x+1，
所以f（0）=1，f′（0）=1，
即b=2，c=1．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x+1，g（x）=f（x）-x=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+1，
g′（x）=x²-ax，
設切點為（x₀，y₀），
則y₀=g（x₀）=$\frac{1}{3}$x₀³-$\frac{1}{2}$ax₀²+1，
切線的斜率為k=g′（x₀）=x₀²-ax₀，
所以切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
因為切線經(jīng)過點（0，3），所以3-y₀=-kx₀，
即3-（$\frac{1}{3}$x₀³-$\frac{1}{2}$ax₀²+1）=-（x₀²-ax₀）x₀，
化簡得：4x₀³-3ax₀²+12=0①，
因為過點（0，3）可作曲線y=g（x）的三條不同切線，
所以①有三個不同的實根．
即函數(shù)h（x）=4x³-3ax²+12有三個不同的零點．
導數(shù)h′（x）=12x²-6ax=0得x=0，或x=$\frac{a}{2}$（a＞0）
可知只要極小值g（$\frac{a}{2}$）＜0即4×$\frac{{a}^{3}}{8}$-3a•$\frac{{a}^{2}}{4}$+12＜0，
所以a＞2$\root{3}{6}$．
故實數(shù)a的取值范圍是（2$\root{3}{6}$，+∞）．

點評 本題主要考查導數(shù)的概念及應用：求極值，解題中必須注意過某點的切線與在某點處的切線的區(qū)別，本題就是一個很好的例子，同時考查了字母的運算能力，是一道中檔題．