Question

5．銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bcosA+acosB=$\sqrt{3}$R，（R為△ABC外接圓的半徑），若c=2，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形求出sinC的值，確定出C的度數(shù)，利用余弦定理列出關系式，把c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形面積公式確定出三角形ABC面積的最大值即可．

解答 解：已知等式bcosA+acosB=$\sqrt{3}$R，利用正弦定理化簡得：2RsinBcosA+2RsinAcosB=2R（sinAcosB+cosAsinB）=2Rsin（A+B）=2RsinC=$\sqrt{3}$R，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C為銳角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cocC，即4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，
則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．