Question

8．我們給出如下定義：對函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C（C∈R），對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$=C，則稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”，稱常數(shù)C為函數(shù)f（x）的“和諧數(shù)”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否為“和諧函數(shù)”？答：是．是（填“是”或“否”）如果是，寫出它的一個“和諧數(shù)”：2．
（Ⅱ）請先學習下面的證明方法：
證明：函數(shù)g（x）=lgx，x∈[10，100]為“和諧函數(shù)”，$\frac{3}{2}$是其“和諧數(shù)”；
證明過程如下：對任意x₁∈[10，100]，令$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{3}{2}$，即$\frac{{lg{x_1}+lg{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，
得x₂=$\frac{1000}{x_1}$．∵x₁∈[10，100]，∴x₂=$\frac{1000}{x_1}$∈[10，100]．
即對任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x₂=$\frac{1000}{x_1}$∈[10，100]，使得$\frac{{g（x）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{3}{2}$．
∴g（x）=lgx為“和諧函數(shù)”，其“和諧數(shù)”為$\frac{3}{2}$．
參照上述證明過程證明：函數(shù)h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數(shù)”，5是其“和諧數(shù)”；
[證明]：
（Ⅲ）判斷函數(shù)u（x）=x²，x∈R是否為和諧函數(shù)，并作出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題目対“和諧函數(shù)”的定義，對任意x₁∈[-1，3]，令c=2代入條件求出x₂、判斷出x₂的范圍，可得答案；
（Ⅱ）參照上述證明過程，對任意x₁∈（1，3），令$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$化簡得${2^{x_2}}=10-{2^{x_1}}$，由指數(shù)、對數(shù)的運算求出x₂，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出x₂的范圍，即可證明結(jié)論成立；
（Ⅲ）分c＜0和c≥0兩種情況討論，對任意的x₁∈R，不存在唯一的x₂∈R，使$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=C$成立，所以函數(shù)u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數(shù)”．

解答 解：（Ⅰ）∵對任意x₁∈[-1，3]，令$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=2$，得x₂=2-x₁，
而x₂∈[-1，3]，即對任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=2$；------------------（4分）
（Ⅱ）對任意x₁∈（1，3），令$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$，即$\frac{{{2^{x_1}}+{2^{x_2}}}}{2}=5$，得${2^{x_2}}=10-{2^{x_1}}$，----（6分）
${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）$．∵x₁∈（1，3），∴$10-{2^{x_1}}∈（{2，8}）$，${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）∈（{1，3}）$．
即對任意x₁∈（1，3），存在唯一的${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）∈（{1，3}）$，使得$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$．---（8分）
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數(shù)”，5是其“和諧數(shù)”．----------------------（10分）
（Ⅲ）對任意的常數(shù)C，
（1）若C≤0，則對于x₁=1，顯然不存在x₂∈R，使得$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=\frac{{1+{x_2}^2}}{2}=C$成立，
所以C（C≤0）不是函數(shù)u（x）=x²，x∈R的和諧數(shù)；-------------------------（13分）
（2）若C＞0，則對于${x_1}=\sqrt{4C}$，由$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=\frac{{4C+{x_2}^2}}{2}=C$得，${x_2}^2=-2C＜0$，
即不存在x₂∈R，使$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=C$成立．
所以C（C＞0）也不是函數(shù)u（x）=x²，x∈R的和諧數(shù)．-------------------------（15分）
綜上所述，函數(shù)u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數(shù)”．-----------------------------（16分）
故答案為：（Ⅰ）是，C=2．

點評 本題是新定義型函數(shù)應用題，綜合考查了閱讀理解能力，及函數(shù)定義域值域的求法等，難度較大，需要扎實的函數(shù)基本功，和邏輯基本功，屬于難題．