Question

4．△ABC中，周長為6，a，b，c三邊成等比數(shù)列，求三角形面積最大值．

Answer 1

分析 由a、b、c成等比數(shù)列得b²=ac，由余弦定理和基本不等式，即可得到B的范圍，由周長為6和基本不等式求出b的范圍，代入三角形的面積公式可求出面積的最大值．

解答 解：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∵三角形周長為6，b²=ac，∴a+b+c=6，
∵a+c≥2$\sqrt{ac}$=2b（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），∴6-b≥2b，即0＜b≤2，
則b的取值范圍是（0，2]；
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB≤$\frac{1}{2}×4×sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=b=2、B=$\frac{π}{3}$時，三角形面積取最大值是$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理，三角形的面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．