Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三定點A（1，2），B（1，-2）和P（3，2），O為坐標(biāo)原點，設(shè)滿足|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$|=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$+2的動點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過曲線C的焦點F作傾斜角為α（α為銳角）的直線l，交曲線C于D、E兩點，線段DE的垂直平分線交x軸于點T，試推斷當(dāng)α變化時，|FT|•（1-cos2α）是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量由|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$|=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$+2得到點M的軌跡方程．
（Ⅱ）曲線C的焦點為F（1，0）則直線AB的方程為y=tanα（x-1），直線和拋物線聯(lián)立求得方程，利用韋達定理列得條件，根據(jù)題目條件列式求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y）則$\overrightarrow{AM}=（x-1，y-2）$，$\overrightarrow{BM}=（x-1，y+2）$
從而$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=（2x-2，2y）$，所以|$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$|=$\sqrt{（2x-2）^{2}+4{y}^{2}}$，又$\overrightarrow{AP}=（2，0）$，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AP}=2x$
由已知，$\sqrt{（2x-2）^{2}+4{y}^{2}}=2x+2$，則（x-1）²+y²=（x+1）²，即y²=4x．
（Ⅱ）曲線C的焦點為F（1，0）則直線AB的方程為y=tanα（x-1）
聯(lián)立y²=4x，消去x，得y=tanα（$\frac{{y}^{2}}{4}-1$），
即y²tanα-4y-4tanα=0，
設(shè)點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
則y₁+y₂=$\frac{4}{tanα}$，x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{tanα}+2=\frac{4}{ta{n}^{2}α}+1$，${y}_{0}=\frac{2}{tanα}$
所以線段DE的垂直平分線方程為
$y-\frac{2}{tanα}=-\frac{1}{tanα}（x-\frac{2}{ta{n}^{2}α}-1）$
令y=0，得x=$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+3$，所以點T（$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+3，0$）
故|FT|=（1-cos2α）=（$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+2$）（1-cos2α）=2（$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}+1$）
2sin²α=4為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線的方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題型，在高考中屬常考題型．