Question

7．已知約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+4≥0}\\{x+2y-1≥0}\\{3x+y-8≤0}\end{array}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=a²x+（a-2-a²）y取得最小值的最優(yōu)解唯一，為（2，2），則a的取值范圍是（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．

Answer 1

分析 作出約束條件所表示的平面區(qū)域，根據(jù)圖形特征確定最小值在何處取得，從而求出a的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+4≥0}\\{x+2y-1≥0}\\{3x+y-8≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

由于目標(biāo)函數(shù)中的y的系數(shù)$a-2-{a}^{2}=-（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{7}{4}＜0$，x的系數(shù)a²≥0，
故平行直線系z(mì)=a²x+（a-2-a²）y的斜率非負(fù)為$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-a+2}$，
由于是最小值問(wèn)題且最優(yōu)解唯一，且圖中點(diǎn)A（2，2），
從而$0≤\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-a+2}＜\frac{1}{3}$．
解得：$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}＜a＜\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$．
∴a的取值范圍是（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．
故答案為：（$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}，\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，最優(yōu)解只有一個(gè)，則意味著目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)直線的斜率介于兩條直線的斜率之間，此時(shí)解相應(yīng)的不等式即可獲解，此題是中檔題．