Question

12．設(shè)f（x）是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）-x，則f（$\frac{3}{2}$）的值為（　�。�

• A． -$\frac{5}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用賦值法先令x=$\frac{1}{2}$，然后再令x=-$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程進行求解即可．

解答 解：令x=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$+1）=（1+$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$，①
在令x=-$\frac{1}{2}$，
則-$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$+1）=（1-$\frac{1}{2}$）f（-$\frac{1}{2}$）-（-$\frac{1}{2}$），②
即-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，
則f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，代入①得：
$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{4}$，
∴f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．