Question

7．如圖，直線AB過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B、C兩點，B點坐標為（1，1）．
（1）求直線和拋物線所表示的函數表達式；
（2）在拋物線上是否存在一點D，使得S_△OAD=S_△OBC，若不存在，說明理由；若存在，請求出點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A，B坐標代入可求出直線和，將B點坐標代入可求出拋物線所表示的函數表達式；
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，可得C點坐標，由S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA=S_△OAD，先求出S_△OAD，再由OA長，可得點D的坐標．

解答 解：（1）設直線AB的方程為：y=kx+b，
∵點A坐標為（2，0），B點坐標為（1，1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ k+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線所表示的函數表達式為：y=-x+2，
將B點坐標（1，1）代入拋物線y=ax²得：a=1，
∴拋物線所表示的函數表達式為y=x²；
（2）存在點D（-$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，3）使得S_△OAD=S_△OBC，理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
故C點坐標為（-2，4），
又由點A坐標為（2，0），B點坐標為（1，1），OA=2，
∴S_△OAD=S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA=3，
設D點坐標為：（m，n）
又由S_△OAD=$\frac{1}{2}OA$•n=n，
故n=3，則m=$±\sqrt{3}$，
故存在點D（-$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，3）使得S_△OAD=S_△OBC．

點評 本題考查了一次函數，二次函數解析式的救法，兩個函數圖象的交點坐標，三角形的面積，難度不大，屬于中檔題．