Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的地面ABCD是平行四邊形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=$\frac{1}{3}$FD，F(xiàn)B⊥FC，F(xiàn)B=FC=2，PF=4，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF與PC所成角的大小
（2）求點(diǎn)D到平面PBF的距離．

Answer 1

分析 （1）利用平行關(guān)系作出異面直線EF與PC所成的角；
（2）利用幾何關(guān)系找出點(diǎn)D到PBF的距離

解答 解：（1）在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C做CH∥EF，交AD于H，連接PH
則∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與PC所成的角
在△PCH中，CH=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{20}$，PH=$\sqrt{18}$，
由余弦定理可得cos∠PCH=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴異面直線EF和PC所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）∵PF⊥平面ABCD，PF?平面PBA
∴平面PBF⊥平面ABCD
在平面ABCD內(nèi)過(guò)D作DK⊥BF，交BF延長(zhǎng)線與K，則DK⊥平面PBF
∴DK的長(zhǎng)就是點(diǎn)D到平面PBF的距離
∵BC=2$\sqrt{2}$
∴DF=$\frac{3}{4}$AD=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∵在△DFK中DK=DFsin45°=$\frac{3}{2}$
∴點(diǎn)D到平面PBF的距離為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了運(yùn)用定義法來(lái)求異面直線的夾角和點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．