Question

5．已知F為拋物線y²=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{17\sqrt{2}}}{8}$
• B． 3
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{3\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6消元，最后將面積之和表示出來(lái)，探求最值問(wèn)題．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，
點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，
可得y²-ty-m=0，
根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，從而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-3，故m=3．
不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（$\frac{1}{4}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×3×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$y₁=$\frac{13}{8}$y₁+$\frac{9}{2{y}_{1}}$
≥2$\sqrt{\frac{9×13}{16}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{13}{8}$y₁=$\frac{9}{2{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$時(shí)，取“=”號(hào)，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 求解本題時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn)：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問(wèn)題的常見(jiàn)模式．
2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．