Question

10．某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

API	[0.50]	（0，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空氣質(zhì)量	優(yōu)	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天數(shù)	4	13	18	30	9	11	15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元），空氣質(zhì)量指數(shù)API為ω．在區(qū)間[0，100]對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；在區(qū)間∴F對企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)API為150時造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)API為200時，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元）；當(dāng)API大于300時造成的 經(jīng)濟(jì)損失為2000元；
（1）試寫出S（ω）的表達(dá)式：
（2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過900元的概率；
（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？
附：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（b+c）（a+c）（b+d）}$

	非重度污染	重度污染	合計(jì)
供暖季
非供暖季
合計(jì)			100

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在區(qū)間[0，100]對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；在區(qū)間（100，300]對企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)API為150時造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)API為200時，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元）；當(dāng)API大于300時造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元，可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，即可求出概率；
（3）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測值的公式，代入數(shù)據(jù)做出觀測值，同臨界值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)在區(qū)間[0，100]對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；在區(qū)間（100，300]對企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)API為150時造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)API為200時，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元）；當(dāng)API大于300時造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元，可得S（ω）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，100]}\\{4ω-100，x∈（100，300]}\\{200，x∈（300，+∞）}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事件A；
由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，
∴P（A）=$\frac{39}{100}$；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如表：

	非重度污染	重度污染	合計(jì)
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計(jì)	85	15	100

K²的觀測值K²=$\frac{100×（63×8-22×7）^{2}}{85×15×30×70}$≈4.575＞3.841
∴有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．

點(diǎn)評 本題考查概率知識，考查列聯(lián)表，觀測值的求法．獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，若值較大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個事件無關(guān)．