Question

6．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為正方形，BB₁C₁C是菱形，平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求證：BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求證：B₁C⊥AC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）先證明AB⊥平面BB₁C₁C，得AB⊥B₁C，再證明B₁C⊥平面ABC₁，得出B₁C⊥AC₁；

解答 證明：（Ⅰ）因為ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
所以BC∥B₁C₁，
因為BC?∥平面AB₁C₁，
B₁C₁?平面AB₁C₁，
所以BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）連接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁，
因為平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，
平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，
AB?平面ABB₁A₁，
所以AB⊥平面BB₁C₁C；
又因為B₁C?平面BB₁C₁C，
所以AB⊥B₁C；
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C；
因為BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，且BC₁∩AB=B，
所以B₁C⊥平面ABC₁；
因為AC₁?平面ABC₁，
所以B₁C⊥AC₁．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直的判斷與直線的應(yīng)用問題，也考查了判斷空間中的四點是否共面問題，是綜合性題目．