Question

18．（1）已知$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{x∈R，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的部分圖象如下圖，求f（x）的解析式；
（2）若$f（x）=tan（{ωx+\frac{π}{4}}）（{ω＞0}）$且f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上為單調(diào)遞增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據(jù)特殊點的坐標(biāo)求出A的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間，再根據(jù)f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，由此求得ω的最大值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖，可得2×$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1），可得Asin$\frac{π}{6}$=1，求得 A=2，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）對于 $f（x）=tan（{ωx+\frac{π}{4}}）（{ω＞0}）$，令kπ-$\frac{π}{2}$＜ωx+$\frac{π}{4}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$＜x＜$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
結(jié)合f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，求得ω≤$\frac{1}{2}$，故ω的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據(jù)特殊點的坐標(biāo)求出A的值．還考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．