Question

13．已知i是虛數(shù)單位，C是全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，若映射f：C→R滿足：對任意z₁，z₂∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz₁+（1-λ）z₂）=λf（z₁）+（1-λ）f（z₂），則稱映射f具有性質(zhì)P．給出如下映射：
①f₁：C→R，f₁（z）=x-y，z=x+yi（x，y∈R）；
②f₂：C→R，f₂（z）=x²-y，z=x+yi（x，y∈R）；
③f₃：C→R，f₃（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）；
其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 求出兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)；分別對三個(gè)函數(shù)求f（λz₁+（1-λ）z₂）、λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）的值，判斷哪個(gè)函數(shù)具有f（λz₁+（1-λ）z₂）=λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）

解答 解：設(shè) z₁=（x₁，y₁），z₂=（x₂，y₂），則λ z₁+（1-λ） z₂=（λx₁+（1-λ）x₂，λy₁+（1-λ）y₂），
對于①，f[λa+（1-λ）z₂]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（z₂）=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1，
f₁滿足性質(zhì)p；f₂（λa+（1-λz₂））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（z₁）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λz₁+（1-λz₂））≠λf₂（z₁）+（1-λ）f₂（z₂），
∴映射f₂不具備性質(zhì)P．
對于②，對于③，f[λ a+（1-λ）z₂]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf（z₁）+（1-λ）f（z₂）=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂），f₃滿足性質(zhì)P
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查理解題中的新定義、考查利用映射的法則求出相應(yīng)的像．