Question

3．等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2015，公比$q=-\frac{1}{2}$．設(shè)f（n）表示該數(shù)列的前n項的積，則當(dāng)n=12時，f（n）有最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和題意求出f（n），再與f（n-1）作商化簡后，判斷出|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|與1的關(guān)系，可得到|f（n）|單調(diào)性和f（n）取最大值時n的值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2015，公比$q=-\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₁q^n-1=$2015•{（-\frac{1}{2}）}^{n-1}$，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時a_n＞0，當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n＜0，
∵當(dāng)n≥2時，$\frac{f（n）}{f（n-1）}$=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{n-1}}$=a_n=$2015•{（-1）}^{n-1}{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$，
∴當(dāng)n≤11時，|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|＞1，此時|f（n）|單調(diào)遞增，
當(dāng)n≥12時，|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|＜1，此時|f（n）|單調(diào)遞減，
∵當(dāng)n=12時，f（11）＞0，當(dāng)n=12時，f（12）＜0，
∴當(dāng)n=12時，f（n）有最大值是${2015^{12}}×{（\frac{1}{2}）^{66}}$．
故答案為：12．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，利用作商法判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大，屬于中檔題．