Question

12．已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后利用α表示等式，得到α；
（2）利用向量的數(shù)量積公式得到α的三角函數(shù)等式，然后利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式求α的正切．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-3）^{2}+si{n}^{2}α}=\sqrt{10-6cosα}$，
|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-3）^{2}}=\sqrt{10-6sinα}$．
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得sinα=cosα．又∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），∴α=$\frac{5π}{4}$．
（2）由$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=$\frac{2}{5}$．
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$＞0，故$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1+2tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{1}{25}$，解得tanα=$-\frac{3}{4}$（舍去）或$-\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有向線段的坐標(biāo)表示以及向量的數(shù)量積、向量模的計(jì)算；考查學(xué)生的計(jì)算能力．