Question

1．已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線m：x+2y+7=0相切，過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M、N兩點(diǎn)
（1）求圓A的方程．
（2）當(dāng)|MN|=2$\sqrt{19}$時(shí)，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；
（2）根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程．

解答 解：（1）意知A（-1，2）到直線x+2y+7=0的距離為圓A半徑r，
∴$r=\frac{|-1+4+7|}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，
∴圓A方程為（x+1）²+（y-2）²=20（5分）
（2）垂徑定理可知∠MQA=90°．且$MQ=\sqrt{19}$，
在Rt△AMQ中由勾股定理易知$AQ=\sqrt{A{M^2}-M{Q^2}}=1$
設(shè)動(dòng)直線l方程為：y=k（x+2）或x=-2，顯然x=-2合題意．
由A（-1，2）到l距離為1知$\frac{|-k+2k-2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1得k=\frac{3}{4}$．
∴3x-4y+6=0或x=-2為所求l方程．（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．