Question

14．若0＜α＜$\frac{π}{4}$，且sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（2α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α和cos2α 的值，再利用兩角和差的余弦公式求得cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，且sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{3}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$+sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
故答案為：$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．