Question

2．函數(shù)f（x）=ax³-3x+1，對(duì)于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a的取值集合為（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [2，4]
• C． [4，+∞）
• D． {4}

Answer 1

分析 當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，由函數(shù)性質(zhì)求出a≥4；x∈[-1，0）時(shí)，求出a≤4，由此求出a=4．

解答 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4，從而a≥4；
當(dāng)x＜0即x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≤$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，從而a≤4，
綜上a=4．即a的取值集合為{4}．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)的合理運(yùn)用．