Question

6．求函數(shù)y=-x²+ax+3（0≤x≤4）的最大值．

Answer 1

分析 分對(duì)稱軸和閉區(qū)間的三種位置關(guān)系：軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間來討論即可．

解答 解：∵y=-x²+ax+3=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{1}{4}$a²，對(duì)稱軸是x=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥4，即a≥8時(shí)，函數(shù)y=-x²+ax+3在[0，4]上是增函數(shù)，故最大值f（4）=-13+4a；
當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜4，即0＜a＜8時(shí)，函數(shù)y=-x²+ax+3在[0，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是減函數(shù)，故最大值f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{1}{4}$a²；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0時(shí)，函數(shù)y=-x²+ax+3在[0，4]上是減函數(shù)，故最大值f（0）=3，
綜上得，函數(shù)y=-x²+ax+3（0≤x≤4）的最大值M=$\left\{\begin{array}{l}{3，a≤0}\\{3+\frac{{a}^{2}}{4}，0＜a＜8}\\{-13+4a，a≥8}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題的實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于解析式中帶參數(shù)的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論．