Question

15．已知點A（1，0），直線l：x=-1，兩個動圓均過點A且與l相切，其圓心分別為C₁、C₂，若動點M滿足$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，則M的軌跡方程為y²=2x-1．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y²=4x，利用$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，確定坐標之間的關系，即可求出M的軌跡方程．

解答 解：由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y²=4x，
設C₁（a，b），C₂（m，n），M（x，y），則
∵動點M滿足$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，
∴2（x-m，y-n）=（a-m，b-n）+（1-m，2-n），
∴2x=a+1，2y=b+2，
∴a=2x-1，b=2y-2，
∵b²=4a，
∴（2y-2）²=4（2x-1），即（y-1）²=2x-1．
故答案為：y²=2x-1．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定坐標之間的關系是關鍵．