Question

10．已知圓F₁：（x+1）²+y²=1，圓F₂：（x-1）²+y²=25，動(dòng)圓P與圓F₁外切并且與圓F₂內(nèi)切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)C與x軸的交點(diǎn)為A₁，A₂，點(diǎn)M是曲線(xiàn)C上異于點(diǎn)A₁，A₂的點(diǎn)，直線(xiàn)A₁M與A₂M的斜率分別為k₁，k₂，求k₁k₂的值．
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，在曲線(xiàn)C上是否存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)設(shè)P（x，y）、動(dòng)圓P的比較為r，利用圓與圓的位置關(guān)系可知|PF₁|=1+r、|PF₂|=5-r，進(jìn)而化簡(jiǎn)可知?jiǎng)訄A圓心P的軌跡是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知A₁（-3，0）、A₂（3，0），通過(guò)設(shè)M（x，y），利用$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=及k₁k₂=$\frac{y-0}{x+3}$•$\frac{y-0}{x-3}$化簡(jiǎn)計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過(guò)設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l方程為x=my+2，并與曲線(xiàn)C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及N（x₁+x₂，y₁+y₂）在曲線(xiàn)C上化簡(jiǎn)計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)P（x，y），動(dòng)圓P的比較為r，則|PF₁|=1+r，|PF₂|=5-r，
∴|PF₁|+|PF₂|=6，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，
則b²=a²-c²=9-1=8，
于是曲線(xiàn)C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）由（I）可知A₁（-3，0），A₂（3，0），
設(shè)M（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
于是k₁k₂=$\frac{y-0}{x+3}$•$\frac{y-0}{x-3}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-9}$=$\frac{{y}^{2}}{-\frac{9{y}^{2}}{8}}$=-$\frac{8}{9}$；
（Ⅲ）結(jié)論：在曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，且直線(xiàn)l方程為x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．
理由如下：
設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l方程為：x=my+2，
聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程，消去x，整理得：
（9+8m²）y²+32my-40=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，
∴N（x₁+x₂，y₁+y₂）在曲線(xiàn)C上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{9}$+$\frac{（{{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}}{8}$=1，
又∵x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=4-$\frac{32{m}^{2}}{9+8{m}^{2}}$=$\frac{36}{9+8{m}^{2}}$，
∴$\frac{1}{9}$•$（\frac{36}{9+8{m}^{2}}）^{2}$+$\frac{1}{8}$•$（-\frac{32m}{9+8{m}^{2}}）^{2}$=1，
整理得：9+8m²=16，
解得：m=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
于是在曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，且直線(xiàn)l方程為x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．