Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R），若f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=6（x-a）（x-1），令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=1，由單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系分類討論可得．

解答 解：∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=1．
（1）當(dāng)a＜1時(shí)，則x＜a或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上是增函數(shù)．
故當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，則x＜1或x＞a時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．
綜上可知，當(dāng)a∈[0，+∞）時(shí)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論的思想，屬中檔題．