Question

1．已知z∈C，|1-z|+z=10-3i，若z²+mz+n=1-3i．
（1）求z；
（2）求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），代入|1-z|+z=10-3i，整理后由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b的值，則z可求；
（2）把（1）中求得的z代入z²+mz+n=1-3i，整理后由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得實數(shù)m，n的值．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
由|1-z|+z=10-3i，得$\sqrt{（1-a）^{2}+（-b）^{2}}+a+bi=10-3i$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（1-a）^{2}+^{2}}+a=10}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：a=5，b=-3．
∴z=5-3i；
（2）把z=5-3i代入z²+mz+n=1-3i，得（5-3i）²+m（5-3i）+n=1-3i，
整理得：（5m+n+16）-（3m+30）i=1-3i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5m+n+16=1}\\{3m+30=3}\end{array}\right.$，解得：m=-9，n=30．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了由復(fù)數(shù)相等的條件求解參數(shù)問題，是基礎(chǔ)題．