Question

10．在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=2，且對任意自然數(shù)n都滿足3a_n+1-a_n=0，b_n是a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 由已知條件得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，再由b_n是a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)，求出b_n，由此利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且對任意自然數(shù)n都滿足3a_n+1-a_n=0，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n=2×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∵b_n是a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{2×（\frac{1}{3}）^{n-1}+2×（\frac{1}{3}）^{n}}{2}$=（$\frac{1}{3}$）^n-1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=4×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=4×[$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$]
=4×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$
=2-$\frac{2}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．