Question

15．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線交Γ于B，C兩點(diǎn)，記∠BAC=θ，若Γ的離心率為$\sqrt{2}$，則（　　）

• A． θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
• B． θ=$\frac{π}{2}$
• C． θ∈（$\frac{3π}{4}$，π）
• D． θ=$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 由Γ的離心率為$\sqrt{2}$，不妨設(shè)雙曲線Γ：x²-y²=1，設(shè)B（x，y），C（-x，y），證明$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1-x²+y²=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵Γ的離心率為$\sqrt{2}$，
∴不妨設(shè)雙曲線Γ：x²-y²=1，
設(shè)B（x，y），C（-x，y），
∴$\overrightarrow{AB}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AC}$=（-x-1，y），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1-x²+y²=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴θ=$\frac{π}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．