Question

2．當(dāng)a，b在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)f（x）=acosx+bsinx的全體記為集合M．
（1）求證：當(dāng)a₁=a₂，b₁=b₂（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）不同時(shí)成立時(shí)，f₁（x）=a₁cosx+b₁sinx和f₂（x）=a₂cosx+b₂sinx是集合M中的兩個(gè)不同的元素；
（2）若f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx∈M，對任意t∈R，函數(shù)f₀（x+t）的全體記為集合A，證明：A⊆M．

Answer 1

分析 （1）利用反證法證明即可；（2）代入表達(dá)式得到f₀（x+t）=atcosx+btsint∈M，從而得到結(jié)論．

解答 （1）：反證法，假設(shè)f₁（x）=f₂（x）
（a₁-a₂）cosx+（b₁-b₂）sinx=0
M中元素樣式中，x是變量，cosx有不為零的可能，當(dāng)cosx≠0時(shí)，
（a₁-a₂）+（b₁-b₂）tanx=0，
∵以tanx為變量的一元一次方程有無數(shù)個(gè)解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{-a}_{2}=0}\\{{_{1}-b}_{2}=0}\end{array}\right.$⇒a₁=a₂且b₁=b₂，
與a₁，a₂，b₁，b₂不同時(shí)相等矛盾；
（2）對于任意的t，
f₀（x+t）
=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）
=a₀（cosxcost-sinxsint）+b₀（sinxcost+cosxsint）
=（a₀cost+b₀sint）cosx+（b₀cost-a₀sint）sint，
令a₀cost+b₀sint=at，b₀cost-a₀sint=bt，
則f₀（x+t）
=（a₀cost+b₀sint）cosx+（b₀cost-a₀sint）sint
=atcosx+btsint∈M，
原命題得證．

點(diǎn)評 本題考查了反證法，元素和集合、集合和集合的關(guān)系，是一道中檔題．