Question

8．若A、B是△ABC的內角，且$cosA=\frac{3}{5}$，$sinB=\frac{5}{13}$，則sinC=$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinA、cosB的值，再利用誘導公式、兩角和的正弦公式求得 sinC=sin（A+B）的值．

解答 解：由于A、B是△ABC的內角，且$cosA=\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
又sinB=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，∴B∈（0，$\frac{π}{6}$），或B∈（$\frac{5π}{6}$，π）（舍去），∴cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{63}{65}$，
故答案為：$\frac{63}{65}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和的正弦公式，屬于中檔題．