Question

1．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），M（a，0），N（b，0）是x軸正半軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過M作斜率為k₁的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，延長AN，BN分別于拋物線交于C，D兩點(diǎn)，若直線CD的斜率為k₂，則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{a}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），代入拋物線方程，運(yùn)用點(diǎn)差法和斜率公式，設(shè)出AB的方程為x=my+a，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減，可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
即有k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理可得k₂=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
設(shè)AB的方程為x=my+a，代入拋物線方程可得：
y²-2pmy-2pa=0，
即有y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pa，
由AC和BD與拋物線相交，可得y₁y₃=-2pb，
y₂y₄=-2pb，
即有y₃=$\frac{-2pb}{{y}_{1}}$，y₄=$\frac{-2pb}{{y}_{2}}$，
則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-2pb•$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{a}$．
故答案為：$\frac{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理和直線的斜率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．