Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上的動點，MN為圓（x-1）²+y²=1的一條直徑，則|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|的最大值為15．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到橢圓上離圓心最遠的點A，在設(shè)出圓的直徑兩端點的坐標，由平面向量數(shù)量積運算求得答案．

解答 解：如圖，

圓（x-1）²+y²=1在橢圓內(nèi)，橢圓上的所有點只有左頂點到圓心（1，0）距離最遠，
由題意可設(shè)圓的直徑的兩個端點為M（1+cosθ，sinθ），N（1-cosθ，-sinθ），
又A（-3，0），
∴$\overrightarrow{AM}=（4+cosθ，sinθ），\overrightarrow{AN}=（4-cosθ，-sinθ）$，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=16-cos²θ-sin²θ=15．
∴|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|的最大值為15．
故答案為：15．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．