Question

18．現(xiàn)有4個(gè)學(xué)生去參加某高校的面試，面試要求用漢語或英語中的一種回答問題，每個(gè)學(xué)生被要求用英語回答問題的概率均為$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求這4個(gè)學(xué)生中恰有2人用英語回答問題的概率；
（Ⅱ）若m，n分別表示用漢語，英語回答問題的人數(shù)，記X=|m-n|，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“4個(gè)學(xué)生中恰有2人用英語回答問題”為事件A，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解了即可．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為0，2，4．求出概率，得到分布列，然后去期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)“4個(gè)學(xué)生中恰有2人用英語回答問題”為事件A，
則P（A）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．  …（4分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為0，2，4．  …（5分）
P（X=0）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{1}{（\frac{1}{3}）}^{1}{（1-\frac{1}{3}）}^{3}+{C}_{4}^{3}{（\frac{1}{3}）}^{3}{（1-\frac{1}{3}）}^{1}$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{0}{（\frac{1}{3}）}^{0}{（1-\frac{1}{3}）}^{4}+{C}_{4}^{4}{（\frac{1}{3}）}^{4}{（1-\frac{1}{3}）}^{0}$=$\frac{17}{81}$

∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

…（11分）
∴$E（X）=0×\frac{8}{27}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．     …（13分）

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求法，分布列以及去的求法，考查分析問題解決問題的能力．