Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），C（$\sqrt{3}$，1），則以下命題：
①若點(diǎn)P是△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$；
②若點(diǎn)P是△ABC的三條中線的交點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
③若點(diǎn)P是△ABC三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①先根據(jù)A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可知△ABC為Rt△，BC⊥AC，畫出圖形便可看出P為AB中點(diǎn)，從而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$正確；
②根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及重心的性質(zhì)便可判斷該命題正確；
③該命題中，P為△ABC的三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，而根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)便可得出∠BAC=60°，從而可以求出直線PC和PA的傾斜角，從而可以寫出這兩直線的方程，聯(lián)立方程便可解出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后便可得到向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，從而可以求出$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，便可判斷該命題的正誤．

解答 解：①如圖，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)便知AC⊥BC，△ABC是直角三角形；

P點(diǎn)是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)；
∴P點(diǎn)為邊AB的中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$；
②如圖，P為△ABC三條中線的交點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為D，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{CP}$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
③如圖，P是△ABC三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)知：∠BAC=60°；
∴直線PA的傾斜角為120°，PC的傾斜角為45°；
∴直線PA的方程為：$y=-\sqrt{3}（x-\sqrt{3}）$，直線PC的方程為：$y-1=x-\sqrt{3}$；
∴聯(lián)立這兩個(gè)方程組解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{3}-1}{2}，\frac{\sqrt{3}-3}{2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（\frac{\sqrt{3}-1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$；
∴$\sqrt{3}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$（\frac{3-\sqrt{3}}{2}，\frac{3-3\sqrt{3}}{2}）+（-\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$$+（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}-1）$=（0，0）=$\overrightarrow{0}$；
∴這三個(gè)命題都正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，相反向量的概念，三角形重心的概念，重心的性質(zhì)：到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，向量加法的平行四邊形法則，直線傾斜角和斜率的概念，直線的點(diǎn)斜式方程，以及向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算．