Question

8．已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AA₁和BB₁的中點，求異面直線CM和D₁N所成的角？求異面直線A₁M和D₁N所成的角？

Answer 1

分析 可分別以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，從而可用空間向量解決本題：可設正方體的邊長為2，從而可求出圖形上一些點的坐標，從而可以求出向量$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{{D}_{1}N}，\overrightarrow{{A}_{1}M}$的坐標，這樣可求出向量$\overrightarrow{CM}$和$\overrightarrow{{D}_{1}N}$的夾角，$\overrightarrow{{A}_{1}M}$和$\overrightarrow{{D}_{1}N}$的夾角，從而得出對應的異面直線所成角．

解答 解：如圖，分別以邊D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，則：
D₁（0，0，0），N（2，2，1），A₁（2，0，0），M（2，0，1），C（0，2，2）；
∴$\overrightarrow{CM}=（2，-2，-1），\overrightarrow{{D}_{1}N}=（2，2，1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}M}=（0，0，1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{{D}_{1}N}＞=\frac{-1}{3×3}=-\frac{1}{9}$，cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}＞$=$\frac{1}{3×1}=\frac{1}{3}$；
∴異面直線CM，D₁N所成角為arccos$\frac{1}{9}$，異面直線A₁M和D₁N所成角為arccos$\frac{1}{3}$．

點評 考查通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，能確定空間點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，向量夾角的余弦公式，并且要弄清異面直線的方向向量的夾角和異面直線所成角的關系．