Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-a{x}^{2}，x＞0}\\{{x}^{2}+ax，x＜0}\end{array}\right.$有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 需要分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)三種情況，其中當(dāng)a＞0，若x＞0，則f（x）=xlnx-ax²，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+1-2ax，求出函數(shù)g（x）的最大值，要讓（x）=xlnx-ax²有2個(gè)極值點(diǎn)，須讓g（x）=f'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即只須讓g（x）_max＞0，解得即可．

解答 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
此時(shí)f（x）在（-∞，0）上不存在極值點(diǎn)，在（0，+∞）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，顯然不成立，
②當(dāng)a＜0時(shí)，
若x＜0，則f（x）=x²+ax，對(duì)稱軸$x=-\frac{a}{2}＞0$，在（-∞，0）上不存在極值點(diǎn)，
若x＞0，則f（x）=xlnx-ax²，f'（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，（x＞0），則$g'（x）=\frac{1}{x}-2a＞0$，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）有且僅有1個(gè)零，即f'（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，
顯然不成立，
③當(dāng)a＞0時(shí)
若x＜0，則f（x）=x²+ax，對(duì)稱軸x=-$\frac{a}{2}$＜0，在（-∞，0）存在1個(gè)極值點(diǎn)
若x＞0，則f（x）=xlnx-ax²，
∴f′（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=-$\frac{2ax-1}{x}$
由g'（x）＞0可得$x＜\frac{1}{2a}$，由g′（x）＜0可得x＞$\frac{1}{2a}$，
∴g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2a}$，0）上單調(diào)遞減，
則$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2a}）=ln\frac{1}{2a}+1-1=-ln2a$，
要讓（x）=xlnx-ax²有2個(gè)極值點(diǎn)，須讓g（x）=f'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即只須讓g（x）_max＞0，
即g（x）_max=-ln2a＞0，
解得得$0＜a＜\frac{1}{2}$
綜上所述a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：$（0，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論思想化歸思想，屬于中檔題．