Question

6．已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1及x=2時取到極值，求實數(shù)a和b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1時取到極小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意有，f′（1）=0，f′（2）=0．求解即可，（2）由f′（1）=0，求出b=-2a-2，結(jié)合函數(shù)f（x）在x=1時取到極小值，得到-a-1＜1，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因為函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=4．
（2）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數(shù)f（x）在x=1時取到極小值，
∴f′（1）=6+6a+3b=0，
∴b=-2a-2，
∴f′（x）=6x²+6ax-6a-6=6（x-1）（x+a+1），
∴-a-1＜1，解得：a＞-2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題．考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．