Question

9．$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sinα+y²cosα=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{π}{4}）$
• B． $（0，\frac{π}{6}）$
• C． $（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$
• D． $（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在y軸上得出$\frac{1}{sinα}$＜$\frac{1}{cosα}$，然后由cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出α的取值范圍．

解答 解：$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sinα+y²cosα=1即為
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}$=1，
∵焦點(diǎn)在y軸上，
∴$\frac{1}{sinα}$＜$\frac{1}{cosα}$，
∴sinα＞cosα，
即sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-α），
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴α＞$\frac{π}{2}$-α，即$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置，同時(shí)考查誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．