Question

9．已知在單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值猜想a_n=2^n-1，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：依題意，a₂=$\frac{2}{{a}_{2}-1}$，∴${{a}_{2}}^{2}$-a₂-2=0，
解得：a₂=2或a₂=-1（舍），
a₃=$\frac{8}{{a}_{3}-2}$，∴${{a}_{3}}^{2}$-2a₃-8=0，
解得：a₃=4或a₃=-2（舍），
a₄=$\frac{32}{{a}_{4}-4}$，∴${{a}_{4}}^{2}$-4a₄-32=0，
解得：a₄=8或a₄=-4（舍），
猜想：a_n=2^n-1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=2^k-1，
∴a_k+1=$\frac{2{{a}_{k}}^{2}}{{a}_{k+1}-{a}_{k}}$=$\frac{{2}^{2k-1}}{{a}_{k+1}-{2}^{k-1}}$，
整理得：${{a}_{k+1}}^{2}$-2^k-1a_k+1-2^2k-1=0，
∴（a_k+1-2^k）（a_k+1+2^k-1）=0，
解得：a_k+1=2^k或a_k+1=-2^k-1（舍），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①、②可知a_n=2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．