Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD=120°，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD
（2）若PA=AB=4，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥BC，AE⊥AD，由線面垂直得PA⊥AE，由此能證明AE⊥平面PAD，則AE⊥PD；
（2）過E作ES⊥AF于S，連接OS，由已知條件得∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，由此能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答 （1）證明：如圖，
由四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
可得∠ABC=60°，△ABC為正三角形．
∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE．
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
PD?面PAD，∵AE⊥PD；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．
過E作EO⊥AC于O，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知：EO⊥平面PAC，
∴EO⊥AF，過E作ES⊥AF于S，連接OS，AF⊥平面ESO，
∴AF⊥SO，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角．
在Rt△AOE中，OE=AEsin30°=$\sqrt{3}$，OA=AEcos30°=3，
又F是PC的中點，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC，
在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}}$．
在Rt△ESO中，cosESO=$\frac{OS}{SE}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
即二面角E-AF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題．