Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=n+a_n，則$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為1．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=n+a_n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{n}$，令f（x）=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{x}$，（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=n+a_n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
則$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{n}$，
令f（x）=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{x}$，（x≥1），
則f′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)$1≤x＜\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x$＞\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
又f（1）=1，f（2）=1，
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，則$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最小值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、遞推關(guān)系的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．