Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（ω＞0）$的最小正周期為π．對(duì)于函數(shù)f（x），下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函數(shù)
• B． 圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱
• C． 圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱
• D． 把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

Answer 1

分析 由條件利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（ω＞0）$=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$） 的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$） 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是減函數(shù)，故排除A．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$對(duì)稱，故排除B．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0）對(duì)稱，故排除C．
所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos2x，它是偶函數(shù)，
故它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．