Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x+3|-|x-1|，若f（x）≤a²-3a（x∈R）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• B． （-∞，-2]∪[5，+∞）
• C． [1，2]
• D． （-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得f（x）=|x+3|-|x-1|≤|（x+3）-（x-1）|=4，當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）取得最大值4．再由不等式恒成立思想可得a²-3a≥4，再由二次不等式的解法即可求得．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x+3|-|x-1|
≤|（x+3）-（x-1）|=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）取得最大值4．
若f（x）≤a²-3a（x∈R）恒成立，
則a²-3a≥4，
解得a≥4或a≤-1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[4，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題，主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值，注意不等式恒成立或有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．